Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\) (\(K\) có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

– Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

– Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

Định lý:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(K\)

1. a) Nếu\(f’\left( x \right) > 0,\forall x \in K\)thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\)
2. b) Nếu\(f’\left( x \right) < 0,\forall x \in K\)thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(K\)

Định lý mở rộng:Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(K\)

1. a) Nếu\(f’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K\)và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên \(K\)
2. b) Nếu\(f’\left( x \right) \le 0,\forall x \in K\)và \(f’\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên \(K\)

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

– Bước 2: Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\), tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc không xác định.

– Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f’\left( x \right) > 0\) là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà \(f’\left( x \right) < 0\) là các khoảng nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $f’\left( x \right)$.

– Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y’ = f’\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y’ = f’\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$ và $y’ = 0$ tại hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y’ = f’\left( x \right) \geqslant 0, \forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y’ = f’\left( x \right) \leqslant 0, \forall x \in D$.

– Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

– Bước 3: Kết luận.