Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập
1. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa:
– Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \end{array} \right.\)
– Tiệm cận ngang:
Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)
– Tiệm cận xiên:
Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\) , trong đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\\b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\end{array} \right.\)
Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính cả hai giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y\).
– Bước 2: Kết luận:
Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)
Hàm phân thức có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của đa thức tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức mẫu.
Dạng 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.
– Bước 2: Tính cả 2 giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y\).
– Bước 3: Kết luận:
Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \end{array} \right.\) thì \(x = {x_0}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ Ta chỉ cần 1 trong 4 điều kiện trên thỏa mãn là kết luận được.
+ Riêng đối với hàm phân thức thì \({x_0}\) thường là nghiệm của mẫu thức nhưng không là nghiệm của tử thức.
Dạng 3: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính cả hai giới hạn \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(a’ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\).
– Bước 2: Nếu \(\left[ \begin{array}{l}a \ne 0; \pm \infty \\a’ \ne 0; \pm \infty \end{array} \right.\) thì tính \(\left[ \begin{array}{l}b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\\b’ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – a’x} \right]\end{array} \right.\)
– Bước 3: Kết luận: Nếu các giới hạn trên là hữu hạn thì \(y = ax + b\) và \(y = a’x + b’\) là các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu thức có nghiệm (nếu cần) và tính các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) của mẫu thức.
– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:
Hàm số có một (hai, ba,…) tiệm cận đứng nếu mẫu thức có một (hai, ba,…) nghiệm không là nghiệm của tử thức.
– Bước 3: Thay các nghiệm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.
