Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Các kiến thức cần nhớ:
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên miền \(D\).
– Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le M,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.\)
Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
– Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(D\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m\end{array} \right.\)
Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)
Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(y’\), giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} \le b\)
– Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)
– Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN \(M\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN \(m\) của hàm số trên \(\left[ {a;b} \right]\)
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\)
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(f’\left( x \right)\), giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…{x_n}\) thỏa mãn \(a \le {x_1} < {x_2} < … < {x_n} \le b\)
– Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right)\) và \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right);B = \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right)\)
– Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.
+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(A\) hoặc \(B\) thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)
+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là \(f\left( {{x_i}} \right),i \in \left\{ {1;2;…;n} \right\}\) thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng \(f\left( {{x_i}} \right)\) khi \(x = {x_i}\)
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác đinh và liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của \(y’\))
– Bước 1: Tính \(y’\), giải phương trình \(y’ = 0\) tìm các nghiệm \({x_1},{x_2},…{x_n}\)
– Bước 2: Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)\)
– Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)
– Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm \(m\)
